Mathématiques | Texte intégral gratuit | Une revue des distributions enveloppées pour les données circulaires

Réf. [42] a pris g être le PDF de la distribution Rama pour obtenir la distribution Rama encapsulée. Son PDF et son CDF sont

$\begin{matrix} F (θ) = UN {et}^{- λ θ} (θ^{3} + B θ^{2} + C θ + D) \end{matrix}$

$\begin{matrix} F (θ) = \frac{UN}{λ^{4}} [γ (4, λ θ) + B λ γ (3, λ θ) + C λ^{2} γ (2, λ θ) + D λ^{3} γ (1, λ θ)] \end{matrix}$

pour $0 \leq θ < 2 π$ et $λ > 0$ où

$\begin{matrix} UN = \frac{λ^{4}}{(λ^{3} + 6) (1 - {et}^{- 2 λ π})}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} B = \frac{6 π {et}^{- 2 λ π}}{1 - {et}^{- 2 λ π}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} C = \frac{2 π ({et}^{- 2 λ π} + 1) B}{1 - {et}^{- 2 λ π}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} D = 1 + \frac{8 π^{3} {et}^{- 2 λ π} ({et}^{- 4 λ π} + 4 {et}^{- 2 λ π} + 1)}{{(1 - {et}^{- 2 λ π})}^{3}} . \end{matrix}$

Le nle moment trigonométrique est

$\begin{matrix} m_{n} = \frac{UN}{{(λ^{2} + n^{2})}^{4}} [(c_{0} + c_{2} n^{2} + c_{4} n^{4} + c_{6} n^{6}) + je (d_{1} n + d_{3} n^{2} + d_{5} n^{5} + d_{7} n^{7})] \end{matrix}$

pour $n = 1, 2, \dots$ où

$\begin{matrix} c_{0} = λ^{7} - 4 \frac{λ^{6} B π}{{({et}^{π λ})}^{2}} - 4 \frac{λ^{7} B π^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 2 \frac{λ^{7} C π}{{et}^{2 π λ}} - 2 \frac{λ^{5} B}{{et}^{2 π λ}} - \frac{λ^{6} C}{{et}^{2 π λ}} - 6 \frac{λ^{4}}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{π^{2} λ^{6}}{{et}^{2 π λ}} \\ - 8 \frac{π^{3} λ^{7}}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{π λ^{5}}{{et}^{2 π λ}} + 6 λ^{4} + λ^{6} C - \frac{λ^{7}}{{et}^{2 π λ}} + 2 λ^{5} B, \end{matrix}$

$\begin{matrix} c_{2} = - \frac{λ^{4} C}{{et}^{2 π λ}} + 4 \frac{λ^{3} B}{{et}^{2 π λ}} + 24 \frac{π λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{π^{2} λ^{4}}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{3} λ^{5}}{{et}^{2 π λ}} + λ^{4} C - 3 \frac{λ^{5}}{{et}^{2 π λ}} - 4 λ^{3} B - 36 λ^{2} \\ + 36 \frac{λ^{2}}{{et}^{2 π λ}} + 3 λ^{5} - 4 \frac{λ^{4} B π}{{et}^{2 π λ}} - 6 \frac{λ^{5} C π}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{λ^{5} B π^{2}}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} c_{4} = \frac{λ^{2} C}{{et}^{2 π λ}} + 6 \frac{λ B}{{et}^{2 π λ}} + 36 \frac{π λ}{{et}^{2 π λ}} + 12 \frac{π^{2} λ^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{3} λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} - 3 \frac{λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} - λ^{2} C - 6 λ B - \frac{6}{{et}^{2 π λ}} \\ + 6 + 3 λ^{3} - 6 \frac{C π λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{B π^{2} λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} + 4 \frac{B π λ^{2}}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} c_{6} = 4 \frac{B π}{{et}^{2 π λ}} - 8 \frac{π^{3} λ}{{et}^{2 π λ}} - \frac{λ}{{et}^{2 π λ}} + \frac{C}{{et}^{2 π λ}} + 12 \frac{π^{2}}{{et}^{2 π λ}} + λ - C - 2 \frac{λ C π}{{et}^{2 π λ}} - 4 \frac{λ B π^{2}}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} d_{1} = 2 λ^{5} C - \frac{λ^{6}}{{et}^{2 π λ}} + 6 λ^{4} B - 6 \frac{λ^{4} B}{{et}^{2 π λ}} - 2 \frac{λ^{5} C}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{2} λ^{5}}{{et}^{2 π λ}} - 8 \frac{π^{3} λ^{6}}{{et}^{2 π λ}} - 3 \frac{π λ^{4}}{{et}^{2 π λ}} + 24 λ^{3} \\ - 24 \frac{λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} + λ^{6} - 8 \frac{λ^{5} B π}{{et}^{2 π λ}} - 4 \frac{λ^{6} B π^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 2 \frac{λ^{6} C π}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} d_{3} = - 3 \frac{λ^{4}}{{et}^{2 π λ}} + 4 λ^{3} C + 4 λ^{2} B - 4 \frac{λ^{3} C}{{et}^{2 π λ}} - 4 \frac{λ^{2} B}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π λ^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 48 \frac{π^{2} λ^{3}}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{3} λ^{4}}{{et}^{2 π λ}} - 24 λ \\ + 24 \frac{λ}{{et}^{2 π λ}} + 3 λ^{4} - 6 \frac{λ^{4} C π}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{λ^{4} B π^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 16 \frac{λ^{3} B π}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} d_{5} = 2 λ C + 2 \frac{B}{{et}^{2 π λ}} - 3 \frac{λ^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 2 \frac{λ C}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{2} λ}{{et}^{2 π λ}} - 24 \frac{π^{3} λ^{2}}{{et}^{2 π λ}} + 12 \frac{π}{{et}^{2 π λ}} + 3 λ^{2} - 2 B \\ - 6 \frac{λ^{2} C π}{{et}^{2 π λ}} - 12 \frac{λ^{2} B π^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 8 \frac{λ B π}{{et}^{2 π λ}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} d_{7} = 1 - 2 \frac{C π}{{et}^{2 π λ}} - 4 \frac{B π^{2}}{{et}^{2 π λ}} - 8 \frac{π^{3}}{{et}^{2 π λ}} - \frac{1}{{et}^{2 π λ}} . \end{matrix}$

La direction moyenne, la longueur moyenne résultante, l’asymétrie et la courbure sont

$\begin{matrix} μ = arcsin [\frac{d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7}}{\sqrt{{(c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6})}^{2} + {(d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7})}^{2}}}], \end{matrix}$

$\begin{matrix} ρ = \frac{UN}{{(λ^{2} + 1)}^{4}} \sqrt{{(c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6})}^{2} + {(d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7})}^{2}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} γ_{1} = \frac{UN {et}^{- 2 μ}}{v^{\frac{3}{2}} {(λ^{2} + 4)}^{4}} (2 d_{1} + 4 d_{3} + 32 d_{5} + 128 d_{7}), \end{matrix}$

$\begin{matrix} γ_{2} = \frac{UN {et}^{- 2 μ}}{(1 - ρ^{2}) {(λ^{2} + 4)}^{4}} (c_{0} + 4 c_{2} + 16 c_{4} + 64 c_{6}) - \frac{ρ^{4}}{1 - ρ^{2}}, \end{matrix}$

La distribution Rama enveloppée présente des expressions sous forme fermée pour ses PDF et CDF. Cette caractéristique, associée à sa bonne adéquation à divers ensembles de données, en fait un choix convaincant pour l’analyse statistique. En fait, elle a surpassé six autres distributions largement utilisées (avec jusqu’à trois paramètres) lorsqu’elle a été appliquée à deux ensembles de données spécifiques. Le premier ensemble de données, initialement obtenu par [33] et publié plus tard par [1]se compose de mesures d’orientation de l’axe long pour 60 lattes de feldspath dans le basalte, enregistrées en degrés. Le deuxième ensemble de données, également rapporté par [1]comprend les valeurs de l’axe horizontal pour 100 galets de débordement collectés sur une terrasse de débordement du Wisconsin tardif près de Cary, dans l’Illinois, le long de la rivière Fox.

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Virginie BRET